способ делить октаву

 Анри Волохонский

Простейший вид деления октавы       

Октавой  называется отношение высот звуков, издаваемых струнами или трубами, длины которых относятся как 1/2. Если взять струну, длиной в 1. и рядом поместить удвоенную струну 2. во всем прочем подобную первой, то их звуки составят октаву. Можно взять одну струну и пережать ее в середине. Звуки половины (1.) и целой струны (2.) тоже образуют октаву. Любое удвоение числа, характеризующего длину струны, (то есть числа 1., 2., 4., 8., ... ; а также 3., 6., 12., 24., ... ; 5., 10., 20., 40., ... и т.п.) даёт ряды октав.  

Посмотрим теперь на октаву 2. — 4. Если разделить вторую половину струны от 2. до 4. ровно пополам, получится ряд 2., 3., 4. и новый звук 3. Этот звук 3. находится в отношении 2/3 к верхнему тону октавы и в отношении 3/4 к нижнему. 2/3 называется квинтой (равно и 3/2), а 3/4 (как и 4/3) — квартой.   

Рассмотрим еще одну октаву: 4. — 8. Звук 6., образующий октаву вниз от 3., займет середину части струны от 4. до 8. Если взять середину части струны от 4. до 6., получится звук 5. и ряд 4., 5., 6. Тем самым октава 3. — 6. оказывается разделенной на три равные части: между 3. и 4. (отношение 3/4), между 4. и 5. (отношение 4/5) и между 5. и 6. (отношение 5/6). Отношение 4/5 называется большой терцией, отношение 5/6 — малой терцией. Большая и малая терция вместе (4/5 х 5/6 = 4/6) составляют отношение 4/6 = 2/3, то есть квинту. Они могут быть получены делением квинты ровно по середине, независимо от ее положения среди прочих звуков.

Рассматриваемая октава 3., 4., 5., 6. содержит все основные звуки, которыми мы будем в дальнейшем пользоваться, и не содержит ни одного лишнего звука.     Следующая октава между 6. и 12. содержит такие же звуки 8. и 10., но они вдвое больше, то есть на октаву ниже, чем 4. и 5. Сходное положение будет наблюдаться во всех более низких октавах. В этом смысле последовательность октав может быть изображена как развертывающаяся спираль, а сходные их звуки будут расположены на радиусах, идущих от начала спирали и пересекающих ее отдельные витки.

Идеальные тоны    

Если мы захотим знать что-то о звуке независимо от номера октавы, можно будет взять его число и разделить на два столько раз, сколько будет достаточно, чтобы осталась нечетная основа, которая на два уже не делится. Этот нечетный звук мы будем называть “идеальный тон”. Так все звуки ... 40., 20., 10. сводятся к идеальному тону 5.; все звуки ... 24., 12., 6. — к идеальному тону 3.; все звуки ... 16., 8., 4., 2. — к идеальному тону 1. Три основных, начальных, простых идеальных тона это 1., 3., 5. Октава 2., 3., 4. в идеальном виде выглядит как 1., 3., 1.; октава 4., 5., 6., 8. — как 1., 5., 3. 1.; октава 3., 4., 5., 6. — как 3., 1., 5., 3.  

Вернемся к октаве 6. — 12. Разделим ее ровно пополам, то есть найдем середину второй половины струны, на которой она расположена. Получим новый звук 9. Он находится посередине второй трети этой октавы, между звуками 8. и 10., составляющими большую терцию 4/5. Звук 9. образует с ними отношения 8/9 — большой тон и 9/10 — малый тон. В идеальном виде эта октава выглядит теперь как 3., 1., 9., 5., 3. Идеальные тоны 1., 9. и 5. делят ее на четыре части. Этого, очевидно, слишком мало для музыки. Мы можем продолжить деление реальной октавы, перенося полученные интервалы 3/2, 4/3, 5/4, 6/5, 9/8 и 10/9, но единый способ для таких переносов найти трудно. Будем пользоваться другим методом, основанным на понятии “идеальный тон”.         

Идеальные тоны находятся друг к другу в идеальных отношениях, из которых нам уже известны октава (1/1), квинта (3/1), кварта (тоже 3/1), большая терция (5/1), малая терция (5/3), большой тон (9/1) и малый тон (9/5). Всё это отношения, повторяю, идеальные. Можно отметить равенство идеальных квинты и кварты, которые вместе (3/1 ^х 1/3) составляют октаву. Это обшее свойство всех идеальных отношений, получаемых так называемым “обращением” какого-либо интервала, как-то большой терции (4/5) и малой сексты (5/8). В реальном виде 4/5 ^х 5/8 = 4/8 = 1/2, то есть октава. В идеальном виде 1/5 ^х 5/1 = 1/1, идеальная октава. Обратим внимание, что нет смысла говорить, какое там отношение идеальная квинта, а какое — идеальная кварта — 3/1 или 1/3. Оба числа могут быть с равным успехом и квинтой и квартой. Это свойство идеальных отношений является результатом того, что мы замкнули октаву, превратив ее из отрезка спирали в подобие круга. А такое превращение позволит нам легко осуществить деление октавы на любое число частей. Это число должно быть достаточным для музыки. Звуки должны быть распределены более или менее равномерно. Не должно быть случаев приближения одного звука к другому при слишком больших интервалах рядом.

Пифагорейская октава    

Построим ряд идеальных тонов 1., 3., 9., 27., 81., 243., 729. Его использовали в неявном виде для деления октавы последователи Пифагора. Этот ряд содержит идеальные квинты или кварты (1/3) между соседними звуками; идеальные большие тоны (1/9), если брать через один звук; идеальные интервалы, близкие к большой и малой терции (1/27 и 81/1), и другие. Идеальная пифагорейская октава может выглядеть например так:

243.   1.      9.      81.      729.   3.      27.      243.  

Идеальные полутоны (1/243) располагаются здесь между 243. и 1. и между 729. и 3. Прочие интервалы между соседними звуками составляют идеальный тон (1/9). В реальной форме, при расположении звуков от высоких к более низким, эта октава выглядит как:         

486.   512.      576.      648.      729.   768.      864.      972.

и весьма близка к системе звуков белых клавиш современных инструментов:

                  до   си      ля      соль      фа   ми      ре      до

Полутоны (256/243) находятся в ней как раз между 486. и 512. (до и си) и между 729. и 768. (фа и ми), а прочие интервалы между расположенными рядом звуками равны тону (9/8). Если отсчитать в этой октаве пятый тон от нижнего до, считая до первым, получаем квинту соль. Считая от соль к верхнему до, получаем кварту. Считая от до к ми, получаем терцию (32/27) и т.д. Традиционные названия интервалов таким образом могут быть выведены из свойств этой октавы: квинта — пятый звук по порядку, кварта — четвертый, терция — третий. Октава, как показывает ее название, является здесь восьмым звуком. Пифагорейскую октаву можно было бы дополнить еще пятью звуками, в идеальном виде — степенями числа 3. (от 3⁷. до 3¹¹.), которые должны дать полутоны на месте черных клавиш в реальной октаве. Необходимо указать, однако, что неточное значение терций (32/27, а не 6/5, и 81/64, а не 5/4) представляет собой очевидный существенный недостаток пифагорейской системы звуков.  

Система трезвучий

   Попробуем теперь ввести идеальный тон 5. Сразу же обнаруживается идеальное трезвучие 1., 3., 5. Оно служит основой реального минорного трезвучия 3., 4., 5. или 4., 5., 6. и состоит из квинты или кварты, большой терции и малой терции или соответствующих секст. С другой стороны, мажорное идеальное трезвучие, построенное из тех же отношений, что и минорное (1/3, 5/3 и 5/1) состоит из трех идеальных тонов 3., 5., и 15. Разница между трезвучиями состоит в том, что в минорном каждый звук вступает в отношения лишь в одном качестве (например как 1., которая входит в отношения 1/3 и 1/5), а в мажорном каждый звук играет двоякую роль (как звук 3., который может войти в отношение 1/5 со звуком 15. и 3/5 со звуком 5.; или звук 5., находящийся в отношении 1/3 со звуком 15. и 5/3 со звуком 3.)        

Расположив звуки обоих трезвучий на горизонталях, кратных 1. и 5., получаем следующую картину:                                      

1.    3.                                       

5.   15.         (малый квадрат).

Горизонтальные линии здесь соответствуют идеальной квинте, вертикальные — идеальной большой терции, а диагональ от 5. к 3. — идеальной малой терции.      Пристроим к этому малому квадрату по такому же квадрату справа и снизу и замкнем четвертый квадрат звуком 225.:

1.        3.       9.                             

5.      15.      45.                            

25.    75.      225.          (средний квадрат)

Здесь мы обнаруживаем идеальные отношения, равные большому и малому тону (1/9 и 5/9) и большому и малому полутонам (1/15 и 3/25).           

Если мы проведем сходную операцию со средним квадратом, то получим большой квадрат, таблица 1.

Таблица 1

Идеальные тоны в большом квадрате

      1.        3.        9.        27.            81.

      5.       15.      45.       135.        405.

     25.      75.     225.      675.       2025.

    125.    375.    1125.    3375.    10125.

    625    1875.   5625.   16875.   50625.

    В центре квадрата обнаруживается число 225. Мы примем его за начало октавы, то есть за ноту “c” или до, и разделим все числа, составляющие большой квадрат, на 225. Получим следующие идеальные отношения:

   1/225      1/75      1/25      3/25          9/25

   1/45       1/15       1/5        3/5           9/5

   1/9         1/3           1           3               9

   5/9         5/3           5          15             45

 25/9       25/3          25         75            225

Умножая или деля каждое из идеальных отношений на степень числа 2 так, чтобы получились значения от 1 до 2, находим следующие реальные тоны:

Таблица 2

Тоны октавы в большом квадрате

256/225      128/75      32/25       48/25           (36/25)

  64/45         16/15        8/5           6/5              (19/5)

  16/9             4/3         1; (2)         3/2             (9/8)

  10/9             5/3         5/4           15/8             (45/32)

  25/18         25/24      25/16        75/64          (225/128)

   Рассматривая таблицу реальных тонов, можно обратить внимание, что в центре поставлено два числа: 1. и 2. Это и есть границы октавы. Кроме того следует указать, что числа в пятом столбце лишь на 81/80 превышают числа в начале следующего ряда (имеется ввиду отношение 36/25 к 64/45 и прочие подобные). Так как отношение 81/80 весьма мало, числа пятого столбца будут играть вспомогательную роль, а потому заключены здесь в скобки.

   (Нужно указать, что величина интервала может оцениваться не только по пропорции, но и по логарифмической шкале, в центах /См. например Волконский, 2003/. Так 81/80 составляет 20.5 цента. Величина интервала в центах вычисляется следующим образом. Берется логарифм значения интервала и умножается на частное от деления 1200 на логарифм числа 2. Результат округляется. Получающиеся величины аддитивны, их можно складывать или вычитать. Суммы и разности будут оценивать новый интервал. Величина октавы составляет 1200 центов).

Итак, рабочая октава может быть разделена лишь на 20 частей. Покажем сначала как выглядят семь основных звуков нашей октавы, то есть белые клавиши обычных инструментов. В третьей строчке написаны значения интервалов между соседними звуками белых клавиш:

  до           си               ля            соль          фа            ми             ре           до¹

 (c)     16/15 (h)        6/5 (a)        4/3 (g)      3/2 (f)      8/5 (e)      16/9 (d)     2 (c)

     16/15             9/8            10/9            9/8          16/15        10/9            9/8

Мы видим, что распределение тонов и полутонов между белыми клавишами здесь совпадает с традиционным. Сложнее обстоит дело с черными клавишами.

В нашей рабочей октаве между двумя звуками в интервале, равном большому или малому тону, вставлено по два звука, один из которых является повышенным от более низкого (то есть диезом, ^#; 71 или 92 цента), а другой — пониженным от более высокого (то есть бемолем, ^b; те же значения). Между звуками, находящимися в интервале в большой полутон, вставлено лишь по одному звуку, который должен служить одновременно бемолем и диезом. Как видно, во всех случаях значение бемоля или диеза превышает или равно интервалу в малый полутон (25/24; 71 цент) за исключением си- и ми-диеза, положение которых совпадает с до- и фа-бемолями. Ввиду того, что интервалы между до и си  и между фа и ми составляют большой полутон 16/15, полноценные бемоли от до и фа равны здесь малому полутону 25/24, а оставшаяся часть интервала к си и к ми оказывается равной 128/125, что определяет уменьшенное значение диезов от си и от ми: они составляют 41 цент, а не 71 или 92 цента, как для других нот. 

Особо следует указать на интервал между си и ля, в котором имеется еще один традиционный звук (b = 10/9), получаемый понижением си на малый полутон (25/24). От этого традиционного тона b, в свою очередь может быть взят новый бемоль b^b с интервалом 135/128 (92 цента), а от ля — диез a^# с таким же интервалом.  Можно заметить, что порядок нот между b и a отличается от порядка в прочих интервалах: после а вверх идет b^b, затем a^#, и уже за этой нотой следует b.

Таблица 3

 Двадцатитоновая октава

Теперь можно составить таблицу 4 с обозначениями нот октавы и вспомогательными звуками, находящимися в пятом столбце.

Таблица 4

               Рабочая двадцатитоновая октава и пять вспомогательных звуков:

  a^#      d^#          g^#         c^#        (36/25 = 1. 44; f^#₁)

  f^#       h           e          a          (9/5 = 1. 8; d₁)

  d        g           c          f          (9/8 = 1. 125; b₁)

  b        e^b         a^b         d^b          (45/32 = 1. 40625; g^b₁)

 g^b     c^b;(h^#)   f^b;(e^#)     b^b           (225/128 = 1. 7578125; d₂)

   Роль вспомогательных звуков нижеследующая. Все горизонтальные интервалы между соседними звуками в таблице составляют точную натуральную квинту или кварту. Если мы будем двигаться квинтовыми ходами по верхнему ряду к до-диез, то следующим за ним по нотному обозначению звуком должен быть фа-диез, первый во втором ряду сверху, то есть последняя квинта оказывается “хромой”, чуть короче (на 21.5 цента) нежели 2/3. Если же мы вместо фа-диез возьмем 36/25, то квинта будет точной. После этого мы можем все-таки взять фа-диез, который на слух мало отличим от 36/25, и от него вести еще три точные квинты и так далее. С такой поправкой, вводимой всякий раз после трех точных квинт на месте “хромой” квинты, мы можем пройти весь слышимый звукоряд квинтовыми ходами.

 Несколько слов о методе

   Мы получили октаву, разделенную на двадцать или на двадцать пять интервалов, очень простым способом, пользуясь понятием “идеальный тон”. Оно было введено на первый взгляд из формальных соображений, для удобства обращения с числовыми значениями звуков. Однако приглядываясь внимательней, мы обнаруживаем, что такой тон дает действительные существенные преимущества, и что его можно считать, в сущности, идеей звука, платоновской или пифагорейской. Это весьма редкий случай, когда идею можно держать в руках и мять пальцами.

   Тот факт, что начало и конец октавы находятся как раз в центре таблицы (225.), указывает на особую роль этого числа. Создается впечатление, что оно имеет смысл природного явления, а не есть эффект наших договоренностей. Если мы возьмем за единицу другое число в таблице, то начало октавы сместится, но сама октава будет иметь всё ту же форму, так как соотношения между интервалами останутся прежними. Строя октаву в соответствии с традицией, мы так или иначе придем к прежнему началу в центре таблицы. Традиционная (или пифагорейская) октава и ее начальное и конечное “c” поэтому тоже имеют важный естественный смысл.

Как настроить рояль

   Собственно, необходимо настроить два рояля или две клавиатуры на двух разных инструментах. Для этого нужно взять для каждого инструмента по половине всех нот из таблицы 4, отбросив сначала одну ноту, так как всего у нас 24 клавиши, в каждой из октав по двенадцать. Удобнее всего не использовать ноту d₂, так как она завершает звуковой ряд и не употребляется в квинтовых ходах. Когда это необходимо, ее можно играть колоколом или гонгом или любым другим инструментом. Она расположена чуть выше ре (примерно на 20 центов).

Чтобы разнести по двум клавиатурам остальные ноты, можно воспользоваться таблицей 5, которая представляет собой всего лишь упрощение таблицы 4.

  Таблица 5

  Двадцатипятитоновая октава

  a^#       d^#         g^#         c^#        (f^#₁)

  f^#       h           e          a         (d₁)

  d        g          c          f          (b₁)

 (b)     (e^b)      (a^b)      (d^b)       (g^b₁)

 (g^b)    (c^b)      (f^b)      (b^b)         \d₂ - гонг\

Ноты без скобок, то есть семь основных нот и пять диезов расположатся на первой клавиатуре, а ноты в скобках, кроме d₂ — на второй. Расположение звуков на первом инструменте напоминает традиционное. Семь основных нот (до, ре, ми, фа, соль, ля и си) расположены на семи белых клавишах, снизу вверх, а черные клавиши соответствуют диезам, то есть интервалам в 71 цент или 92 цента вверх от белой клавиши.

Вторая клавиатура используется для тех нот, которые в таблице 5 стоят в скобках. Для удобства игры можно расположить все бемоли основных семи нот на белых клавишах. Тогда для черных клавиш останутся ноты: d₁, f^#₁, g^b₁, b^b и b_1. Белая и черная клавиатуры должны в этом случае рассматриваться как отдельные последовательности нот, а не совместно, как на первом рояле. В таком виде они представлены в таблицах 7-а и 7-б.

Для практических нужд можно указать частоты в герцах для каждого тона. Для этого примем за ноту ля частоту в 440 герц, а остальные ноты вычислим по пропорциям. В таком виде они войдут в таблицы 6, 7-а и 7-б. Приведем также оценки интервалов между тонами в центах отдельно для каждого инструмента. Как видно из этих значений, второй рояль имеет отчасти вспомогательную функцию: хотя величины бемолей соответствуют значениям диезов первого инструмента, четыре из пяти черных клавиш (отмеченные индексами ₁) могут употреблятся в качестве поправок, для сглаживания «хромых» квинт.

Разумеется для практических нужд ноты черных клавиш на двух инструментах можно поменять местами: вспомогательные ноты поместить на первый рояль, а диезы — на второй. Возможно, так кому-то будет удобнее.

Таблица 6

Первый рояль

Таблица 7-а

Белые клавиши второго рояля (бемоли)

Таблица 7-б

Черные клавиши второго рояля (поправки)

Изображение музыкальных нот буквами

          Получив октаву, разделенную на 20 или 25 интервалов, отметим, что эти числа близки к количествам букв в различных алфавитах. Так в древнееврейском алфавите 22 буквы, в английском — 26, в русском — 33.

          Структура древнееврейского алфавита подробно рассмотрена в «Книге Творения» (Сефер Иецира). Выделяются три буквы-матери, семь двойных букв и двенадцать простых. Последние две группы вместе дают девятнадцать букв. Это наша двадцатитоновая октава, из которой исключён звук b^b₁ (в правом нижнем углу таблицы 5, левее d₂). Семь букв в ней (бет, гимел, далет, каф, пе, реш и тав) это семь основных нот — до, ре, ми, фа, соль, ля и си. В таблице 8 они отмечены звёздочками. Остальные — двенадцать бемолей и диезов, которые обознаются двенадцатью простыми буквами.

          Три буквы матери это три дополнительные ноты, которые мы обозначили индексами для отличия от близких к ним звуков. В таблице 8 они напечатаны жирным шрифтом и смещены вправо.

          Конкретно, какая буква обозначает какую ноту можно выяснить, рассматривая изменения звучания отдельных букв и ставя их в нотном ряду вблизи друг от друга. Разумеется, расположение букв не установлено с догматической точностью, и возможны альтернативы. Предлагаемое расположение следует рассматривать как предварительное.

          После того, как выяснен ход древнееврейских букв, найти соответствие для других алфавитов несложно. Мы можем использовать для этого все двадцать пять звуков, то есть ввести еще три тона. Они также смещены вправо в таблице, однако напечатаны обычным шрифтом.

          В заключение необходимо указать, что мысль об алфавитном изображении музыкальных звуков была почерпнута из сочинения Алекса Штрая (2003).

Книги

Андрей Волконский. Основы темперации.2003. Москва. «Композитор».

Алекс Штрай. Звуки творения. 2003. Иерусалим. Серия «Раритеты».

Таблица 8

Соответствие нот буквам

                                                                                                                        Приложение

Что такое «полутоны»

Если взять октаву (например на монохорде или в трубе) от 1. до 2., то целых чисел между этими границами нет и делить её неудобно. Если взять следующую октаву, от 2. до 4., то между границами окажется число 3., которое и создаст условие для деления: октава будет разделена на два интервала: от 2. до 3. (квинта, 3/2) и от 3. до 4. (кварта, 4/3). По внешности, октава разделена вроде бы «пополам», ведь число 3. находится ровно посередине октавы, между 2. и 4., но фактически вовсе не на две равные части. Квинта «стоит» 702 цента, а кварта — 498 центов (при округлениях этих значений). С такою же двусмысленностью мы будем встречаться и далее.

            Продолжим наши упражнения с числами, построим октаву 3. — 6. В этой октаве между ее границами два числа: 4. и 5.; интервал от 4. до 6. равен квинте. Разделив эту квинту по числу 5., получаем две натуральные терции, большую — от 4. до 5. (5/4) и малую — от 5. до 6. (6/5). Большая натуральная терция «стоит» 386 центов, а малая — 316 центов. Отметим, что ряд 1., 2., 3., 4., 5., 6. состоит из пяти равных по длине промежутков, а это означает, что просверлив в трубке отверстия на равных расстояниях, мы получим некий натуральный строй.

Именно так, но часто с устранением одного или двух начальных интервалов, и были устроены простейшие флейты. Начиная с расстояния в три (иногда в две) единицы от источника звука в флейте просверливались четыре (иногда пять) отверстий, отделенных друг от друга равными расстояниями длиной в такую же единицу. Эти расстояния давали натуральную кварту, большую терцию и малую терцию. Последние два интервала вместе составляли квинту, и к ним иногда добавлялась еще октава вверх от тона 4., верхняя граница которой, число 2., было на том же расстоянии от тона 3., что и все другие расстояния в этом строе.

Числом 6. оканчивается непрерывный строй, где числа идут подряд. В дальнейших построениях придётся пропускать некоторые числа, а именно те из них, которые не способны образовать трезвучия 3:4:5 и производных от него трезвучий и интервалов.

Рассмотрим теперь октаву 5. — 10., то есть ряд 5., 6., 8., 9., 10., в котором число 7. пропущено по указанным выше причинам. Числа 8. и 10. составляют отношение 5/4, большую терцию. Ровно посередине между ними расположено число 9., которое делит эту большую терцию на два тона: 9/8 — большой и 10/9 — натуральный малый. Большой тон, естественно, тоже натуральный, но его можно назвать и «пифагорейским». Укажем здесь на несовершенство музыкальной терминологии: «тоном» называется сам звук и интервал между двумя звуками. Будем здесь пользоваться этим словом только во втором смысле, в значении интервала. Большой тон «стоит» 204 цента, малый — 182 цента. (Следует помнить, что эти значения округлённые). Здесь вновь, как в случае квинты и кварты, а также при отыскании двух терций, деление точно посередине привело к образованию двух неравных величин. Большой тон можно можно получить ещё как разницу между квинтой и квартой.

Можно заметить, что до сих пор числа, составляющие отношения рассматриваемых интервалов шли подряд: 1, 2, 3 и 4 — две октавы, квинта и кварта; далее 4, 5 и 6 — две терции; затем 8, 9 и 10 — два тона. Поэтому нужный интервал — октава, квинта и большая терция — делился ровно посередине. В дальнейшем подобной симметрии наблюдаться уже не будет.

            Интервал 16/15 (112 центов) получается при сравнении величин кварты (4/3, 498 центов) и большой терции (5/4, 386 центов). Его называют натуральный «большой полутон». В октаве  8. — 16. имеется кварта 12. — 16. и большая терция 12. — 15. Разница между ними составляет 16/15. Интервал, называемый натуральный «малый полутон» (25/24, 70 центов), получается как разница между большой и малой терциями (386 и 316 центов). Вместе оба эти небольших интервала — большой и малый полутоны — составляют малый тон (10/9, 182 цента), и это могло бы быть основаним для именования их «полутонами». Фактически, они получаются по несколько иным правилам. А именно, взяв интервал равный малому тону (10/9), постараемся найти его положение в ряду чисел таким образом, чтобы его оказалось возможным разделить на большой и малый полутоны. Таков интервал 45. — 50. или 45., 48., 50., который содержит число 48. Это число отстоит на три единицы от 45., давая 16/15, и на две единицы от 50., давая 25/24. Как видно, интервал 45. — 50. разделяется на две неравные части, находящиеся в отношении 3:2, в отличие от прежних случаев, где такие части были равными. Поэтому данные малые интервалы (16/15 и 25/24) в собственном смысле «полутонами» не являются и могут сохранить своё название лишь как условность.

Отметим, что все рассмотренные выше интервалы получаются делением двух чисел, отличающихся на единицу. Имеется еще один такой интервал: 81/80 (22 цента), называемый «коммой». Эта комма представляет собой разницу между большим и малым тоном, 9/8 и 10/9.

Музыка Сфер

Перечислим теперь все рассмотренные натуральные интервалы: октава, квинта, кварта, большая терция, малая терция, большой тон, малый тон, большой полутон, малый полутон и комма. Их десять: 2/1, 3/2, 4/3, 5/4, 6/5, 9/8, 10/9, 16/15, 25/24 и 81/80. Поэтому можно смотреть на них как на систему Сефир или Сефиротов (прежнее название) или Сфер, как их, собственно говоря, следовало бы именовать. В каждом таком интервале присутствуют и обращённые интервалы: прима, кварта, квинта, две сексты и так далее (1/1, 4/3, 3/2, 8/5, 5/3 ...

Выше всех расположена высшая Сфера, называемая Венец (Кетер). В отношении музыки она — Прима, 1/1. От неё происходит Октава. Это вторая Сфера, Мудрость (Хохма или Серафимы; здесь и в некоторых других случаях я буду указывать названия ступеней также в системе Дионисия). Октава получается, если удвоить Приму, выйдет 2/1. Она и в Венце и в Премудрости, но преимущественно в Премудрости, а в Венце она лишь возможна. В Октаве можно найти точку на равном расстоянии от середины струны и до ее конца. Этой точкой Октава разъединится на Квинту (3/2) и Кварту (4/3), которые перейдут в Сферу Разума (Бина или Херувимы). Будучи там, Квинта может быть поделена на Кварту (3/2 : 4/3 = 9/8). Это даёт Большой Тон в Сфере Красоты (Тиферет, Трон). Но и Октава, дважды делённая на Кварту, даёт Большой Тон:  2:(4/3)² = 9/8. Так связаны между собой эти Сферы.

Разъединяя Квинту по ее срединной точке подобно тому, как это делалось с Октавой (но от двух третей струны до её конца), получаем две Терции: 5/4 — Большую и 6/5 — Малую. Если между ними вставить Кварту, вновь получится Октава. Большая Терция занимает Сферу Силы (Гебура), Малая — Сферу Величия (Гдула).

Разделив Большую Терцию на Большой Тон, получаем Малый Тон (5/4 : 9/8 = 10/9). Эти же два Тона, Большой и Малый, образуются, если разделить Большую Терцию по её срединной точке (5/4 = 10/8; срединная точка — 9/8, остается 10/8; аналогично уже проведённым операциям с Октавой и с Квинтой). Малый Тон можно получить также из Кварты (4/3 = 12/9), оставляя две доли струны для Малой Терции (6/5 = 12/10; ибо 12/10 ∙ 10/9 = 12/9 = 4/3). Малый Тон окажется в Сфере Основ (Иесод, Архангелы).

            Деля Кварту на Большую Терцию, получаем интервал, который носит название Большой Полутон (4/3 : 5/4 = 16/15). Если разделить на эту величину Малый Тон, образуется так называемый Малый Полутон (10/9 : 16/15 = 25/24). Половиной тона ни этот ни предыдущий интервал никоим образом не являются. Но вместе они составляют Малый Тон (16/15 ∙ 25/24 = 10/9). Располагаются же они в Сферах Великолепия (Ход) и Вечности (Нецах).

            Последний интервал, Комма (81/80), находится в десятой Сфере, именуемой Царство (Малкут, Ангелы). Он получается при делении Большого Тона на Малый (9/8 : 10/9 = 81/ 80).

            Таковы десять Сфер. Они «бегут и возвращаются», как сказано в Книге Творения, и переходят друг в друга.

Десять Сфер

                                                                                                                                                       А.В.